Các máy đo địa ngay sau Pythagoras (c. 580 – c. 500 bc) chia sẻ trực giác khó hiểu rằng hai độ dài bất kỳ là “có thể đo được” (nghĩa là có thể đo được) bằng bội số nguyên của một số đơn vị chung. Nói cách khác, họ tin rằng các số nguyên (hoặc số đếm) và tỷ lệ của chúng (số hữu tỉ hoặc phân số), là đủ để mô tả bất kỳ đại lượng nào. Hình học do đó dễ dàng kết hợp với niềm tin của Pitago, mà nguyên lý quan trọng nhất của nó là thực tế về cơ bản là toán học và dựa trên các số nguyên. Sự liên quan đặc biệt là việc thao túng các tỷ lệ, lúc đầu diễn ra theo các quy tắc được xác nhận bởi số học. Do đó, việc phát hiện ra các hợp tử (căn bậc hai của các số không phải là bình phương) đã làm suy yếu hệ Pitago: không còn có thể a : b =c : d (trong đó a và b tương đối nguyên tố) ngụ ý rằng a = n c hoặc b = n d , với n là một số nguyên nào đó. Theo truyền thuyết, người khám phá ra Pythagore về số lượng không thể đo lường được, ngày nay được gọi là số vô tỉ, đã bị giết bởi các anh em của mình. Nhưng thật khó để giữ bí mật trong khoa học.
Người Hy Lạp cổ đại không có đại số hoặc chữ số Hindu-Ả Rập. Hình học Hy Lạp hầu như chỉ dựa trên suy luận logic liên quan đến các sơ đồ trừu tượng. Do đó, việc phát hiện ra những vật không thể bảo vệ được đã làm xáo trộn quan niệm của Pitago về thế giới; nó dẫn đến một sự bế tắc trong lý luận toán học - một sự bế tắc kéo dài cho đến khi các máy đo địa lý vào thời của Plato đưa ra một định nghĩa về tỷ lệ (tỷ lệ) có nghĩa là không thể giải quyết được. Các nhà toán học chính tham gia là Theaetetus người Athen (khoảng 417–369 bc), người mà Plato đã dành toàn bộ cuộc đối thoại, và Eudoxus vĩ đại của Cnidus (khoảng 390 – c. 340 bc), người có cách xử lý các điểm không thể giải quyết được tồn tại như Sách V của Euclid Elements .
Euclid đã đưa ra một chứng minh đơn giản sau đây. Theo định lý Pitago, một hình vuông với các cạnh có độ dài bằng 1 đơn vị phải có đường chéo d thỏa mãn phương trình d 2 = 12 + 12 = 2. Theo dự kiến của Pitago, theo định lý Pitago thì đường chéo có thể là được biểu thị bằng tỷ số của hai số nguyên, chẳng hạn p và q , và p và q là tương đối nguyên tố, với p > q - hay nói cách khác, tỷ số đã được rút gọn về dạng đơn giản nhất. Như vậy p 2 / q 2 = 2. Khi đó p 2 = 2 q 2 nên pphải là một số chẵn, giả sử là 2 r . Chèn 2 r cho p vào phương trình cuối cùng và đơn giản hóa, ta thu được q 2 = 2 r 2, khi đó q cũng phải chẵn, điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng p và q không có nhân tử chung nào khác ngoài sự đồng nhất. Do đó, không có tỷ lệ số nguyên nào — tức là không có “số hữu tỉ” nào theo thuật ngữ Hy Lạp — có thể biểu thị căn bậc hai của 2. Độ dài sao cho các hình vuông được tạo thành trên chúng không bằng số bình phương (ví dụ: Căn bậc hai của √ 2 Căn bậc hai của √ 3, Căn bậc hai của √ 5, Căn bậc hai của √ 6,…) được gọi là “số vô tỉ”.
