Định lý Pitago nói rằng tổng các bình phương trên chân của một tam giác vuông bằng bình phương trên cạnh huyền (cạnh đối diện với góc vuông) —trong kí hiệu đại số quen thuộc, a 2 + b 2 = c 2. Người Babylon và người Ai Cập đã tìm thấy một số bộ ba số nguyên ( a , b , c ) thỏa mãn mối quan hệ. Pythagoras (c. 580 – c. 500 bc) hoặc một trong những môn đồ của ông có thể là người đầu tiên chứng minh định lý mang tên ông. Euclid (khoảng 300 bc) đã đưa ra một chứng minh thông minh của định lý Pitago trong phần tử của ông , được gọi là chứng minh Cối xay gió từ hình dạng của hình vẽ.
- Vẽ hình vuông ở hai bên của quyền Δ A B C .
- B C H và A C K là đường thẳng vì ∠ A C B = 90 °.
- ∠ E A B = ∠ C A I = 90 °, bằng cách xây dựng.
- ∠ B A I = ∠ B A C + ∠ C A I = ∠ B A C + ∠ E A B = ∠ E A C , bằng 3.
- A C = A I và A B = A E , bằng cách xây dựng.
- Do đó, Δ B A I ≅ Δ E A C , theo định lý góc cạnh bên (xem Sidebar: The Bridge of Asses), như được tô sáng trong phần (a) của hình.
- Vẽ C F song song với B D .
- Rectangle Một G F E = 2Δ Một C E . Kết quả đáng chú ý này xuất phát từ hai định lý sơ bộ: (a) diện tích của tất cả các tam giác trên cùng một đáy, có đỉnh thứ ba nằm ở bất kỳ vị trí nào trên một đường thẳng kéo dài vô hạn song song với đáy, đều bằng nhau; và (b) diện tích hình tam giác bằng một nửa diện tích hình bình hành (kể cả hình chữ nhật bất kỳ) có cùng đáy và chiều cao.
- Hình vuông A I H C = 2Δ B A I , theo cùng một định lý hình bình hành như ở bước 8.
- Do đó, hình chữ nhật A G F E = hình vuông A I H C , theo các bước 6, 8 và 9.
- ∠ D B C = ∠ A B J , như trong bước 3 và 4.
- B C = B J và B D = A B , theo cách xây dựng như trong bước 5.
- Δ C B D ≅ Δ J B A , như trong bước 6 và được tô sáng trong phần (b) của hình.
- Hình chữ nhật B D F G = 2Δ C B D , như trong bước 8.
- Hình vuông C K J B = 2Δ J B A , như trong bước 9.
- Do đó, hình chữ nhật B D F G = hình vuông C K J B , như trong bước 10.
- Hình vuông A B D E = hình chữ nhật A G F E + hình chữ nhật B D F G , bằng cách xây dựng.
- Do đó, hình vuông A B D E = hình vuông A I H C + hình vuông C K J B , theo các bước 10 và 16.
Cuốn sách đầu tiên của Euclid's Elementsbắt đầu bằng định nghĩa của một điểm và kết thúc bằng định lý Pitago và nghịch đảo của nó (nếu tổng bình phương ở hai cạnh của một tam giác bằng bình phương ở cạnh thứ ba thì nó phải là tam giác vuông). Cuộc hành trình từ định nghĩa cụ thể đến phát biểu toán học trừu tượng và phổ quát này đã được coi là biểu tượng cho sự phát triển của cuộc sống văn minh. Một ví dụ nổi bật về việc xác định lý luận của Euclid với sự thể hiện tư tưởng cao nhất là đề xuất của một nhà vật lý và thiên văn học người Đức vào năm 1821 để mở một cuộc trò chuyện với cư dân trên sao Hỏa bằng cách cho họ thấy những tuyên bố của chúng ta về sự trưởng thành về trí tuệ. Tất cả những gì chúng tôi cần làm để thu hút sự quan tâm và tán thành của họ, người ta tuyên bố, là cày và trồng những cánh đồng lớn theo hình dạng của sơ đồ cối xay gió hoặc như những người khác đề xuất,để đào những con kênh gợi ý đến định lý Pitago ở Siberia hoặc Sahara, đổ đầy dầu vào chúng, đốt cháy chúng và chờ đợi phản hồi. Thí nghiệm này vẫn chưa được thử, vẫn chưa xác định được liệu cư dân trên sao Hỏa không có kính viễn vọng, không có hình học hay không tồn tại.
