Các bằng chứng của Archimedes về công thức cho diện tích và thể tích đã đặt ra tiêu chuẩn cho việc xử lý nghiêm ngặt các giới hạn cho đến thời hiện đại. Nhưng cách ông phát hiện ra những kết quả này vẫn còn là một bí ẩn cho đến năm 1906, khi một bản sao cuốn luận thuyết Phương pháp bị thất lạc của ông được phát hiện ở Constantinople (nay là Istanbul, Thổ Nhĩ Kỳ).
Hóa ra Archimedes đã sử dụng một phương pháp sau này được gọi là nguyên lý của Cavalieri, liên quan đến việc cắt các chất rắn (có thể tích được so sánh) với một họ các mặt phẳng song song. Đặc biệt, nếu mỗi mặt phẳng trong họ cắt hai chất rắn thành các tiết diện có diện tích bằng nhau thì hai chất rắn đó phải có thể tích bằng nhau ( xem hình vẽ). Người ta có thể coi vật rắn là tổng các phần như vậy, được gọi là phân chia. Archimedes thực sự đã xây dựng nguyên tắc này, không chỉ so sánh các phần tương ứng trong diện tích mà còn “cân bằng” chúng theo quy luật đòn bẩy.
Ý tưởng cắt bằng các mặt phẳng song song đã được khám phá lại ở Trung Quốc, và một bằng chứng đơn giản hơn rằng thể tích của một hình cầu bằng hai phần ba thể tích của hình trụ bao quanh nó, chỉ sử dụng diện tích, đã được Liu Hui đưa ra trong quảng cáo 263. Bằng chứng cuối cùng. những dòng này được đưa ra bởi nhà toán học người Ý Bonaventura Cavalieri trong Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova Quadam Ratione Promota (1635; “Một phương pháp nhất định để phát triển một hình học mới của các phân số liên tục”). Cavalieri đã quan sát điều gì xảy ra khi một bán cầu và hình trụ ngoại tiếp của nó bị cắt bởi họ các mặt phẳng song song với đáy của hình trụ: mỗi phần hình đĩa của hình cầu có cùng diện tích với phần hình khuyên tương ứng của phần bổ sung của một hình nón trong hình trụ ( xemnhân vật ). Sau đó, công thức về thể tích của hình cầu theo định lý Eudoxus rằng thể tích của một hình nón bằng một phần ba thể tích của hình trụ ngoại tiếp của nó.
