Metalogic , nghiên cứu và phân tích ngữ nghĩa (quan hệ giữa biểu thức và ý nghĩa) và cú pháp (quan hệ giữa các biểu thức) của ngôn ngữ chính thức và hệ thống hình thức. Nó liên quan đến, nhưng không bao gồm, cách xử lý chính thức của các ngôn ngữ tự nhiên. (Để thảo luận về cú pháp và ngữ nghĩa của ngôn ngữ tự nhiên, hãy xem ngôn ngữ học và ngữ nghĩa.)
Bản chất, nguồn gốc và ảnh hưởng của metalogic
Cú pháp và ngữ nghĩa
Một ngôn ngữ chính thống thường yêu cầu một tập hợp các quy tắc hình thành — tức là, một đặc tả đầy đủ của các loại biểu thức sẽ được tính là các công thức được hình thành tốt (câu hoặc biểu thức có nghĩa), có thể áp dụng một cách máy móc, theo nghĩa máy móc có thể kiểm tra xem ứng viên đáp ứng các yêu cầu. Đặc điểm kỹ thuật này thường bao gồm ba phần: (1) danh sách các ký hiệu nguyên thủy (đơn vị cơ bản) được đưa ra một cách máy móc, (2) một số kết hợp nhất định của các ký hiệu này, được tách ra một cách máy móc để tạo thành các câu đơn giản (nguyên tử), và (3) một tập hợp mệnh đề quy nạp— không quy nạp vì chúng quy định rằng sự kết hợp tự nhiên của các câu đã cho được tạo thành bởi các liên kết lôgic như vậy như phép nối “hoặc” được ký hiệu là “∨”; “Không” được ký hiệu là “∼”; và “cho tất cả”, được ký hiệu là “(∀),” lại là các câu. [“(∀)” được gọi là bộ định lượng,cũng như “có một số,” được ký hiệu là “(∃)”.] Vì các đặc tả này chỉ liên quan đến các ký hiệu và sự kết hợp của chúng chứ không liên quan đến ý nghĩa, chúng chỉ liên quan đến cú pháp của ngôn ngữ.
Việc giải thích một ngôn ngữ hình thức được xác định bằng cách xây dựng cách giải thích các câu nguyên tử của ngôn ngữ liên quan đến một miền các đối tượng — nghĩa là, bằng cách quy định các đối tượng của miền nào được biểu thị bằng các hằng số của ngôn ngữ và các quan hệ và chức năng nào. được ký hiệu bằng chữ cái vị ngữ nào và ký hiệu chức năng. Do đó, giá trị chân lý (cho dù “đúng” hay “sai”) của mỗi câu được xác định theo cách giải thích tiêu chuẩn của các liên kết logic. Ví dụ, p · q đúng nếu và chỉ khi p và qlà sự thật. (Ở đây, dấu chấm có nghĩa là liên kết “và” không phải phép nhân “lần”. Chân lý, ý nghĩa và biểu thị là các khái niệm ngữ nghĩa.
Ngoài ra, nếu một hệ thống hình thức trong ngôn ngữ hình thức được đưa vào, các khái niệm cú pháp nhất định sẽ nảy sinh — cụ thể là các tiên đề, quy tắc suy luận và định lý. Một số câu được tách ra dưới dạng tiên đề. Đây là những định lý (cơ bản). Mỗi quy tắc suy luận là một mệnh đề quy nạp, nêu rõ rằng, nếu một số câu là định lý, thì một câu khác liên quan đến chúng theo cách phù hợp cũng là một định lý. Ví dụ: nếu p và “hoặc not- p hoặc q ” (∼ p ∨ q ) là các định lý, thì q là một định lý. Nói chung, một định lý hoặc là một tiên đề hoặc kết luận của một quy tắc suy luận mà tiền đề của nó là các định lý.
Năm 1931, Kurt Gödel đã có một khám phá cơ bản rằng, trong hầu hết các hệ thức thú vị (hoặc có ý nghĩa), không phải tất cả các câu đúng đều là định lý. Từ phát hiện này, ngữ nghĩa không thể được rút gọn thành cú pháp; do đó cú pháp, liên quan chặt chẽ với lý thuyết chứng minh, thường phải được phân biệt với ngữ nghĩa, liên quan chặt chẽ với lý thuyết mô hình. Nói một cách đại khái, cú pháp - như được quan niệm trong triết học toán học - là một nhánh của lý thuyết số, và ngữ nghĩa là một nhánh của lý thuyết tập hợp, liên quan đến bản chất và quan hệ của các tổng thể.
Về mặt lịch sử, khi các hệ thống logic và tiên đề ngày càng trở nên chính xác hơn, đã xuất hiện, để đáp ứng mong muốn có được sự sáng suốt cao hơn, xu hướng chú ý nhiều hơn đến các đặc điểm cú pháp của các ngôn ngữ được sử dụng thay vì chỉ tập trung vào các ý nghĩa trực quan. Bằng cách này, lôgic học, phương pháp tiên đề (chẳng hạn như phương pháp được sử dụng trong hình học), và ký hiệu học (khoa học tổng quát về các dấu hiệu) đều hội tụ về hình kim loại.
Phương pháp tiên đề
Hệ tiên đề được biết đến nhiều nhất là của Euclid cho hình học. Theo cách tương tự như của Euclid, mọi lý thuyết khoa học bao gồm một tập hợp các khái niệm có ý nghĩa và một tập hợp các khẳng định đúng hoặc được tin tưởng. Ý nghĩa của một khái niệm thường có thể được giải thích hoặc xác định theo các khái niệm khác, và tương tự, sự thật của một khẳng định hoặc lý do để tin nó thường có thể được làm rõ bằng cách chỉ ra rằng nó có thể được suy ra từ một số khẳng định khác đã được chấp nhận. Phương pháp tiên đề tiến hành theo một trình tự các bước, bắt đầu bằng một tập hợp các khái niệm và mệnh đề nguyên thủy, sau đó định nghĩa hoặc suy ra tất cả các khái niệm và mệnh đề khác trong lý thuyết từ chúng.
Nhận thức nảy sinh vào thế kỷ 19 rằng có những hình học khác nhau có thể dẫn đến mong muốn tách toán học trừu tượng khỏi trực giác không gian; do đó, nhiều tiên đề ẩn đã được khám phá trong hình học Euclid. Những khám phá này được David Hilbert sắp xếp thành một hệ thống tiên đề chặt chẽ hơn trong Grundlagen der Geometrie của ông (1899; Cơ sở của Hình học ). Tuy nhiên, trong hệ thống này và các hệ thống có liên quan, các kết nối logic và các thuộc tính của chúng được coi là đương nhiên và vẫn là ẩn. Nếu lôgic liên quan được coi là lôgic của phép tính vị từ, thì lôgic học có thể đi đến các hệ thống chính thức như đã thảo luận ở trên.
Một khi có được những hệ thống hình thức như vậy, có thể chuyển những vấn đề ngữ nghĩa nhất định thành những vấn đề cú pháp sắc nét hơn. Ví dụ, người ta đã khẳng định rằng các hình học phi Euclid phải là các hệ tự nhất quán vì chúng có các mô hình (hoặc cách giải thích) trong hình học Euclid, đến lượt nó lại có một mô hình trong lý thuyết về số thực. Tuy nhiên, sau đó có thể được hỏi, làm thế nào để biết rằng lý thuyết về số thực là nhất quán theo nghĩa là không có mâu thuẫn nào có thể phát sinh bên trong nó. Rõ ràng, mô hình hóa chỉ có thể thiết lập một sự nhất quán tương đối và phải dừng lại ở đâu đó. Tuy nhiên, khi đã đến với một hệ thống chính thức (ví dụ, số thực), vấn đề nhất quán sau đó có trọng tâm rõ ràng hơn của một vấn đề cú pháp:đó là việc xem xét tất cả các bằng chứng có thể có (như các đối tượng cú pháp) và hỏi liệu có bất kỳ bằng chứng nào trong số đó có (giả sử) 0 = 1 ở câu cuối cùng hay không.
Như một ví dụ khác, câu hỏi liệu một hệ thống có phải là phân loại hay không - nghĩa là liệu nó có xác định về cơ bản một cách diễn giải duy nhất theo nghĩa là hai cách diễn giải bất kỳ là đẳng cấu hay không - có thể được khám phá. Câu hỏi ngữ nghĩa này ở một mức độ nào đó có thể được thay thế bằng một câu hỏi cú pháp liên quan, câu hỏi về tính hoàn chỉnh: liệu trong hệ thống có bất kỳ câu nào có giá trị chân lý xác định trong cách diễn giải dự định sao cho câu đó hay sự phủ định của nó không là một định lý hay không. Mặc dù bây giờ người ta biết rằng các khái niệm ngữ nghĩa và cú pháp là khác nhau, yêu cầu mơ hồ rằng một hệ thống phải “đầy đủ” đã được làm rõ bởi cả hai khái niệm. Việc nghiên cứu những câu hỏi cú pháp sắc bén như những câu hỏi về tính nhất quán và hoàn chỉnh, được Hilbert nhấn mạnh, được ông đặt tên là “siêu ngữ học” (hay “lý thuyết chứng minh”) vào khoảng năm 1920.
